Ответы
7. Каждому n из множества N соответствует только одно значение 1/2n. Соответственно это множество чисел счётное по определению. 8. Рассмотрим множество натуральных чисел от 1 до 25. Оно включает подмножества нечетных и четных чисел. Используя свойство арифметической прогрессии, найдём количество нечетных чисел n=(25-1)2 + 1 = 13 Значит количество четных чисел 12.
Сопоставим каждому подмножеству нашего множества его дополнение в этом множестве. Например, подмножеству {1, 2, 3,...,10} сопоставим подмножество {11,12,13,...,25}. В результате все подмножества разобьются на пары, причем, раз в множестве нечетное число элементов, в каждой паре одно подмножество состоит из четного числа элементов, а другое из нечетного числа элементов. Вывод: подмножеств с четным числом элементов столько же, сколько и с нечетным числом элементов.
Замечание. Если бы в множестве было четное число элементов, ответ все равно был бы такой же. Докажем это. Предположим для простоты, что в множестве 26 элементов, 25 старых и один добавленный. Тогда все подмножества делятся на две группы, в первую входят подмножества, не содержащие добавленный элемент, а во вторую - подмножества, содержащие добавленный элемент. Подмножества из первой группы - это подмножества множества, состоящего из 25 элементов. По доказанному среди них одинаковое количество подмножеств с четным и нечетным количеством элементов. Подмножества же из второй группы - это в точности подмножества из первой группы, к которым добавлен новый элемент. Подмножества, состоящие из четного числа элементов, будут теперь состоять из нечетного числа элементов, а состоящие из нечетного числа элементов, будут теперь состоять из четного числа элементов. Поэтому во второй группе также одинаковое число подмножеств с четным и нечетным числом элементов.