Question

Найдите неопределённые интегралы . Результат проверить дифференцированием .

Answer 1

Найти неопределенный интеграл. Результат проверить дифференцированием.

$intlimits{frac{dx}{sqrt{9-3x^2} }} =frac{1}{3} cdotintlimits{frac{dx}{sqrt{1-frac{x^2}{3}}}}=frac{1}{3} cdotintlimits{frac{dx}{sqrt{1-(frac{x}{sqrt{3}})^2}}}$

Далее замена переменных

$u=frac{x}{sqrt{3}}$

$dx =sqrt{3}du$

$frac{1}{3} cdotintlimits{frac{dx}{sqrt{1-(frac{x}{sqrt{3}})^2}}}=frac{1}{3} cdotintlimits{frac{sqrt{3} du}{sqrt{1-u^2}}}=frac{1}{sqrt{3} } cdotintlimits{frac{du}{sqrt{1-u^2}}}=frac{1}{sqrt{3} } cdot arcsin(u)+C$

Сделаем обратную замену переменных

$frac{1}{sqrt{3} } cdot arcsin(u)+C=frac{1}{sqrt{3} } cdot arcsin(frac{x}{sqrt{3} })+C$

Следовательно

$intlimits{frac{dx}{sqrt{9-3x^2} }}=frac{1}{sqrt{3} } cdot arcsin(frac{x}{sqrt{3} })+C$

Проверка

$(frac{1}{sqrt{3} } cdot arcsin(frac{x}{sqrt{3} })+C)'=(frac{1}{sqrt{3} } cdot arcsin(frac{x}{sqrt{3} }))'+(C)' =frac{1}{sqrt{3} } cdot frac{1}{sqrt{1-(frac{x}{sqrt{3} } )^2} }cdot (frac{x}{sqrt{3} } )'=frac{1}{sqrt{3} } cdot frac{1}{sqrt{1-(frac{x}{sqrt{3} } )^2} }cdot frac{1}{sqrt{3} }=$$=frac{1}{3} cdot frac{1}{sqrt{1-frac{x^2}{3} } }=frac{1}{sqrt{9-3x^2} }$

Answer 2

Спасибо)