Question

Решите уравнение: 3sin^2x+sinxcosx=2cos^2x

Answer 1

$3sin^2x+sin xcos x=2cos^2x\ \ 3sin^2x+sin xcos x-2cos^2x=0$

Это однородное уравнение, разделим обе части уравнения на cos²x≠0

$displaystyle frac{3sin^2x}{cos^2x}+frac{sin xcos x}{cos^2 x}-frac{2cos^2x}{cos^2x}=0\ \ frac{3sin^2x}{cos^2x}+frac{sin x}{cos x}-2=0$

Известно, что отношение sinx/cosx равно tgx, получим

$tt 3tg^2x+tgx-2=0$

Пусть $tt tgx=t$, получим квадратное уравнение относительно t

$3t^2+t-2=0$

$D=b^2-4ac=1^2-4cdot3cdot(-2)=1+24=25\ \ t_1=dfrac{-b+sqrt{D}}{2a}=dfrac{-1+5}{2cdot3}=dfrac{4}{2cdot3}=dfrac{2}{3};\ \ t_2=dfrac{-b-sqrt{D}}{2a}=dfrac{-1-5}{2cdot3}=-dfrac{6}{2cdot3}=-1$

Возвращаемся к обратной замене

$tgx=dfrac{2}{3}~~~~Rightarrow~~~~ boxed{x=tt{arctg}dfrac{2}{3}+pi n,n in mathbb{Z}}$

$tt tgx=-1~~~~Rightarrow~~~ boxed{x=-frac{pi}{4}+pi n,n in mathbb{Z}}$