Question

Найти площадь треугольника АВС, если АС = 1, угол А = 60 градусов, а косинус В = корень (27/28)

Answer 1

По теореме синусов:

$frac{AC}{sin{angle B}}=frac{BC}{sin{angle A}}=frac{AB}{sin{(pi - (angle A + angle B))}}$

$frac{AC}{sin{angle B}}=frac{BC}{sin{angle A}}=frac{AB}{cos{angle A + angle B}}$

$frac{AC}{sin{angle B}}=frac{BC}{sin{angle A}}=frac{AB}{cos{angle A}cos{angle B}-sin{angle A}sin{angle B}}$

Подставляем, считаем:

$sin{angle A}=frac{sqrt{3}}{2}; sin{angle B}=[tex]cos{(angle A+ angle B)}=frac{1}{2}cdot sqrt{frac{27}{28}}-frac{sqrt{3}}{2}cdot frac{1}{sqrt{28}}=frac{sqrt{frac{3}{7}}}{2}$

Теперь подставляем это в теорему синусов:

$AB=frac{AC}{frac{1}{sqrt{28}}}cdot frac{sqrt{frac{3}{7}}}{2}=sqrt{28}cdot frac{sqrt{frac{3}{7}}}{2}=sqrt{28/7 cdot 3}:2=sqrt{12}/2=2sqrt{3}/2=sqrt{3}$

$S_{ABC}=frac{1}{2}cdot AB cdot AC cdot sin{angle A}=frac{1}{2}cdot sqrt{3} cdot 1 cdot frac{sqrt{3}}{2}=frac{3}{4}$

Если я нигде не налажал в вычислениях