Question

Помогите решить пример
Sin(x/4)=sin^2(x/16)-cos^2(x/16)

Answer 1

$sinfrac{x}{4}=-(cos^2frac{x}{16}-sin^2frac{x}{16})$

В левой части уравнения видим, что это формула косинуса двойного угла

$sinfrac{x}{4}=-cos(2cdotfrac{x}{16})\ sinfrac{x}{4}=-cosfrac{x}{8}$

Представим $sinfrac{x}{4}=sin(2cdotfrac{x}{8})=2sinfrac{x}{8}cosfrac{x}{8}$ - синус двойного угла, получим

$2sinfrac{x}{8}cosfrac{x}{8}=-cosfrac{x}{8}\ 2sinfrac{x}{8}cosfrac{x}{8}+cosfrac{x}{8}=0\ cosfrac{x}{8}(2sinfrac{x}{8}+1)=0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю

$cosfrac{x}{8}=0\ frac{x}{8}=frac{pi}{2}+pi n,n in mathbb{Z}~~~|cdot 8~~~~Rightarrow~~~ boxed{x=4pi+8pi n,n in mathbb{Z}}$

$2sin frac{x}{8}+1=0\ sinfrac{x}{8}=-0.5\ frac{x}{8}=(-1)^{k+1}cdotfrac{pi}{6}+pi k,k in mathbb{Z}~~~Rightarrow~~~ boxed{x=(-1)^{k+1}cdotfrac{4pi}{3}+8pi k,k in mathbb{Z}}$