Question

Найти предел) (подробно)
Номер 52

Answer 1

Разобьем последовательность на две подпоследовательности с чётными и нечётными n.

Сгруппируем слагаемые под модулем попарно:

$displaystyleleft(frac1n-frac2nright)+left(frac3n-frac4nright)+dots$

Если n чётно, таких скобок ровно n/2, в каждой получается -1/n, так что всё выражение равно -1/2.

$displaystylelim_{ntoinfty}left|left(frac1n-frac2nright)+left(frac3n-frac4nright)+dots+left(frac{n-1}n-frac1nright)right|=lim_{ntoinfty}frac12=frac12$

Если n нечётно, скобок (n - 1)/2, в каждой по-прежнему получается -1/n, и ещё дополнительно 1 = n/n, которой не хватило пары. Значение выражения -1/2 - 1/(2n) + 1 = 1/2 - 1/(2n).

$displaystylelim_{ntoinfty}left|left(frac1n-frac2nright)+left(frac3n-frac4nright)+dots+left(frac{n-2}n-frac{n-1}nright)+1right|=\=lim_{ntoinfty}left(frac12-frac1{2n}right)=frac12$

Итак, каждая из двух подпоследовательностей сходится, притом пределы совпадают, а вместе эти подпоследовательности образуют всю последовательность. Значит, и вся последовательность сходится к тому же пределу.

(На всякий случай доказательство: пусть Xn, Yn сходятся к A. Докажем, что последовательность X1, Y1, X2, Y2, ... сходится к A. По определению, для любых ε > 0 найдутся такие Nodd и Neven, что для всех n > Nodd: |Xn - A| < ε; для всех n > Neven: |Yn - A| < ε. Тогда все члены новой последовательности, с номерами, большими max(2*Nodd - 1, 2*Neven), отличаются от A меньше, чем на ε)