Question

угол между диагоналями прямоугольника равен 120°, а площадь прямоугольника 9 см2. найдите стороны прямоугольника

Answer 1

Смотрите поясняющий рисунок.

Если один из углов межу диагоналями α=120°, то другой β=30°.

Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам, значит малые треугольники будут равнобедренными, углы при основании равны. Значит в остроугольных треугольниках ΔABO и ΔDOC углы при сторонах AB CD (=a) будут равны (180-30)/2=60°=β. Т.е. треугольники ΔABO и ΔDOC будут равносторонними и следовательно половины диагоналей AO=BO=CO=DO= a . Соответственно диагонали AC=BD=2a

Из прямоугольного ΔABD выражаем квадрат гипотенузы (диагонали прямоугольника) BD:

$BD^2=(2a)^2=a^2+b^2$   [1]

Площадь прямоугольника

$S=a b$   [2]

Выражаем сторону b через a и площадь S.

$b=frac{S}{a}$  [3]

Подставляем [3] в [1] и решаем полученное уравнение.

$frac{S^2}{a^2}+a^2=(2a)^2=4a^2\ \ S^2=4a^4-a^4=3a^4\ \ a=sqrt[4]{frac{S^2}{3} }=sqrt[4]{frac{81}{3}}=sqrt[4]{27}  =3^{frac{3}{4} }$

Соответственно  из [3] находим b.

$b=frac{S}{a} =frac{9}{sqrt[4]{27} } =3^{2} cdot 3^{-frac{3}{4} }=3^{frac{8-3}{4} }=3^{frac{5}{4} }=sqrt[4]{3^5} =sqrt[4]{243}$

Ответ:

$a=sqrt[4]{27} \ \ b=sqrt[4]{243}$

Answer 2

спасибо большое!