Question

КАКОЕ НАРЕЧИЕ К СЛОВУ СТЫДИТСЯ?

Answer 1

Если восстановить полную (пра) форму предложение, получаем

ЭТО (оно) ЕСТЬ СТЫДНО (или весело, допустим) МНЕ (для меня)

Получается наречие в качестве сказуемого (составного именного)  

Это особая категория наречий - предикативные

Answer 2

Давно стыдится,или долго стыдится.