Question

Найдите наименьшее натуральное число, которое является одновременно удвоенным точным квадратом и утроенным точным кубом.

Answer 1

$M=2x^2=3y^3,Min mathbb{N}Rightarrow x,yin mathbb{N}\y^3=frac{2}{3}cdot x^2\\y=sqrt[3]{frac{2x^2}{3}}$

Чтобы "у" был натуральным числом, надо чтобы

$sqrt[3]{frac{2x^2}{3}}in mathbb{N}.$

Таким образом 2x²/3 должно раскладываться на произведение простых чисел, которые будут в кубе и наименьшими т.к. M - наименьшее, а значит и x,y - наименьшие.

2 уже есть, а "x" - натуральное, поэтому "х" должно быть произведением какого-то числа и 2 т.к. 2·2²=2³, да можно было x=2⁴, тогда 2·2⁸=2⁹, но нас интересует наименьшее. Так же нам надо избавиться от 3 в знаменателе, поэтому "х" должно быть произведением какого-то числа на 3ⁿ, при этом n - наименьшее, значит n=2 т.к. (3²)²:3=3³

Получается x=2·3² и подкоренное выражение 2³·3³, значит "у" будет натуральным.

На всякий случай проверим и найдём M.

$begin{Bmatrix}y=sqrt[3]{frac{2x^2}{3}}\x=2cdot 3^2end{matrix};y=sqrt[3]{2^3cdot 3^3}=6\M=3cdot 6^3=3cdot 216=648\M=2cdot 18^2=2cdot 324=648.\\Otvet!!:;648.$