Question

Найти наименьший период функций или доказать их непериодичность :
y=sin³x.

Answer 1

Функция $f$ периодична $leftrightarrow exists T>0 : f(x + T) = f(x)$

$sin^3(x + T) = sin^3(x)$

$(sin(x)cos(T) + cos(x)sin(T))^3 = sin^3(x)$

$sin^3(x + T) - sin^3(x) = 0 rightarrow (sin(x + T) - sin(x))(sin^2(x + T) + sin(x + T)sin(x) + sin^2(x)) = 0$

$sin(x + T) - sin(x) = 0 leftrightarrow 2sin(frac{T}{2})cos(frac{2x + T}{2}) = 0$

$sin(frac{T}{2}) = 0 rightarrow T = 2pi n, n in mathbb{Z}$

$cos(frac{2x + T}{2}) = 0 rightarrow T = pi + 2pi m - 2x, m in mathbb{Z}$ не подходит, тк T в зависимости от x.

$sin^2(x + T) + sin(x + T)sin(x) + sin^2(x) = 0$

Тут аналогично, либо $T = 2pi n, n in mathbb{Z}$, либо T в зависимости от x.

Ответ: $2pi$

Answer 2

Помогите пожалуйста : https://znanija.com/task/29708653