Ответы
f(x) = (x^2 - (3a-4)x - 12a)(x^2 - (a-3)x - 3a)(x - 4)
1) Корень 4 в первой, как в последней скобке.
4^2 - (3a-4)*4 - 12a = 0
16 - 12a + 16 - 12a = 0
32 = 24a
a = 32/24 = 4/3
2) Тот же корень 4 во второй скобке.
4^2 - (a-3)*4 - 3a = 0
16 - 4a + 12 - 3a = 0
28 = 7a
a = 28/7 = 4
3) Могут быть равные корни в двух первых скобках.
x^2 - (3a-4)x - 12a = x^2 - (a-3)x - 3a = 0
-(3a-4)x + (a-3)x = 12a - 3a
(1-2a)x = 9a
x = 9a/(1-2a)
Подставляем во 2 скобку и приравниваем её к 0.
81a^2/(1-2a)^2 - 9a(a-3)/(1-2a) - 3a = 0
Умножаем все на (1-2a)^2
81a^2 - (9a^2-27a)(1-2a) - 3a(1-2a)^2 = 0
a(81a - 9a + 27 + 18a^2 - 54a - 3 + 12a - 12a^2) = 0
a(6a^2 + 30a + 24) = 0
6a(a + 1)(a + 4) = 0
a = 0; a = - 1; a = - 4
4) Первая скобка может быть квадратом.
x^2 - (3a-4)x - 12a = (x - k)^2 = x^2 - 2kx + k^2
Получаем систему
{ 3a - 4 = 2k
{ - 12a = k^2
Подставляем 1 уравнение во 2.
{ a = (2k+4)/3
{ -4(2k+4) = k^2
0 = k^2 + 8k + 16 = (k + 4)^2
k = - 4; a = (-8+4)/3 = - 4/3
5) Вторая скобка тоже может быть квадратом.
x^2 - (a-3)x - 3a = (x - k)^2 = x^2 - 2kx + k^2
Система
{ a - 3 = 2k
{ - 3a = k^2
Подставляем 1 уравнение во 2.
{ a = 2k+3
{ -6k - 9 = k^2
0 = k^2 + 6k + 9 = (k+3)^2
k = - 3; a = -6 + 3 = - 3
Ответ: 4/3; 4; 0; - 1; - 4; - 4/3; - 3.