Question

Стереометрия помогите срочно, номер 19!!!

Answer 1

Дано: правильная четырёхугольная призма  ABCDA₁B₁C₁D₁ ; AB=BC=CD=AD; B₁B⊥(ABC); B₁D=d - диагональ призмы; B₁DB=α - угол наклона диагонали к основанию призмы.

Найти : $S_{BB_1D_1D}$ ; Sбок ; Sосн

ΔBB₁D - прямоугольный,  ∠B₁BD = 90°; B₁D = d; ∠B₁DB = α

Из соотношений в прямоугольном треугольнике :

BB₁ = d · sin α ;        BD = d · cos α

В основании призмы лежит квадрат.  Так как диагональ квадрата равна стороне квадрата, умноженной на √2,  то

AB = AD = BD / √2 = d · cos α / √2

Площадь диагонального сечения-прямоугольника :

$boldsymbol{S_{BB_1D_1D}=}BB_1cdot BD = dcdot sin~alpha~cdot d~cdot cos~alpha=\ \ =dfrac{d^2cdot 2 sin~alpha~cos~alpha}{2}=boldsymbol{0,5d^2cdot sin~(2alpha)}$

Площадь боковой поверхности :

Sбок = 4·AB·BB₁ = $4cdot dfrac{dcdot cos~alpha }{sqrt{2} }cdot dcdot sin~alpha =dfrac{2cdot d^2cdot (2cdot cos~alpha cdot sin~alpha)}{sqrt{2} }$

Sбок = $boldsymbol{sqrt{2} cdot d^2cdot sin~(2alpha)}$

Площадь основания :

Sосн  = AB² = $Big(dfrac{dcdot cos~alpha}{sqrt{2} }Big)^2=boldsymbol{0,5d^2cdot cos^2alpha }$

==============================================

Использована формула синуса двойного аргумента :

2 sin α cos α = sin (2α)