Question

Решить уравнение

ctg(2x)-ctg(x)=2ctg(4x)

Answer 1

$ctg2x-ctgx=2, ctg4x; ,; ; ODZ:; sin2xne 0,sinxne 0,sin4xne 0; to ; xne frac{pi n}{4}$

$frac{cos2x}{sin2x}-frac{cosx}{sinx}=2cdot frac{cos4x}{sin4x}\\frac{sinxcdot cos2x-cosxcdot sin2x}{sinxcdot sin2x}=2cdot frac{1-2sin^22x}{2sin2xcdot cos2x}; ; (cos2x=1-2sin^2x)\\frac{sin(-x)}{sinx}=frac{1-2sin^22x}{1-2sin^2x}; ,; ; -1cdot (1-2sin^2x)=1-2sin^22x\\2sin^2x-1=1-8sin^2xcdot cos^2x\\2sin^2x+8sin^2xcdot cos^2x-2=0, |:2; ; (1=sin^2x+cos^2x)\\4sin^2xcdot cos^2x-cos^2x=0\\cos^2xcdot (4sin^2x-1)=0\\a); ; cos^2x=0; ,; x=frac{pi}{2}+pi knotin ODZ\\b); ; sin^2x=frac{1}{4}; ,; sinx=pm frac{1}{2}$

$x_1=(-1)^{n}frac{pi }{6}+pi n; ; ili; ; x_2=(-1)^{n+1}frac{pi}{6}+pi k,; n,kin Z; Rightarrow \\Otvet:; ; x=frac{pi }{6}+pi n; ;; ; x=frac{5pi }{6}+pi k; ;; n,kin Z; .$

$P.S.; ; ili; ; ; sin^2x=frac{1}{4}; ,; ; frac{1-cos2x}{2}=frac{1}{4}; ,; cos2x=frac{1}{2}; ,\\2x=pm frac{pi }{3}+2pi k; ,; ; underline {x=pm frac{pi}{6}+pi k; ,; kin Z; -; otvet}$

Answer 2

Удобно ctg4x=(ctg2x-tg2x) /2, a справа не трогать ctg2x. Получаем ctg2х-ctgx=ctg2x-tg2x, отсюда ctgx=tg2x и далее.

Answer 3

Ой, слева не трогать ctg2x

Answer 4

Может, завтра поправите? Спасибо!)

Answer 5

поправила, но LaTex два раза не хотел вставлять исправления , а сейчас - каша какая-то вышла...

Answer 6

Спасибо!

Answer 7

task/29729177  Решить уравнение  ctg(2x) - ctg(x)  = 2ctg(4x)                                   ----------

ОДЗ : { sin2x ≠ 0 ; sinx ≠ 0 ; sin4x ≠0 .      x ≠ πk/4 , k ∈ ℤ .

ctg(2x) - ctg(x) = 2ctg(4x) ⇔ ctg(2x) - 2ctg(4x)  =  ctg(x) ⇔

ctg(2x) -(ctg²(2x)-1) /ctg2x =ctg(x) ⇔1/ctg(2x)=ctg(x)⇔2ctgx / (ctg²x -1) =ctgx⇔

|| ctgx ≠ 0 ||    2 / (ctg²x -1) = 1 ⇔ 2 =  ctg²x - 1 ⇔ ctg²x  = 3 ⇔ ||  ctgx  = ±√3  ||

(1+cos2x) / (1-cos2x) = 3  ⇔   1+cos2x  =3 - 3cos2x ⇔ cos2x = 1/2 ⇔

2x = ± π/3 + 2πk ,  k ∈ ℤ . 

ответ:  x =± π/6 + πk ,  k ∈ ℤ

Answer 8

Спасибо! Думаю, предпоследняя строчка уже лишняя. Ответ можно писать сразу, когда нашли котангенс.

Answer 9

Лишнее бесконечное число комментарии "Я так думаю" ))