Question

$x^3-sinx=0$
Решить уравнение не используя графический метод.
Вариант решения через систему а-ля "каждое слагаемое равно нулю" уже пробовал:
$begin{cases}x^3=0\sinx=0end{cases}= textgreater begin{cases}x=0\x=0end{cases}\x=0$
Но корней должно быть как минимум 3.

Answer 1

Заменим синус  на ряд до х^5.

sin(x) = x - (x^3/6) + (x^5/120) = (120x -20x^3 + x^5)/120.

Тогда исходное уравнение примет вид:

x^3 = (120x -20x^3 + x^5)/120.

Получаем x^5 - 140x^3 + 120x = 0.

Вынесем х за скобки: х(x^4 - 140x^2 + 120) = 0.

Отсюда имеем один корень: х = 0.

Второй множитель преобразуем в квадратное уравнение при помощи замены x^2 = t.

t² - 140t + 120 = 0.

Квадратное уравнение, решаем относительно t:  

Ищем дискриминант:

D=(-140)^2-4*1*120=19600-4*120=19600-480=19120;

Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:

t_1=(√19120-(-140))/(2*1)=(√19120+140)/2=√19120/2+140/2=√19120/2+70 ≈       139.137544069775 (этот корень даёт отрицательное значение синуса, тогда как куб - положительное)

t_2=(-√19120-(-140))/(2*1)=(-√19120+140)/2=-√19120/2+140/2=-√19120/2+70 ≈ 0.8624559302255.

х = √t = √0.8624559302255 = +-0,928685054

.

Если взять более длинный ряд разложения синуса, то получим значение:

х = +-0,928626.

Ответ: имеем 3 корня: х = 0 , х = 0,928626 и х = -0,928626.

Для наглядности приводится график функций х^3 и sin(x) в пределах от 0 до х.

.