Question

Как возвести комплексное число в 24 степень с помощью формулы Муавра?
$(1 + frac{sqrt{3} }{2} + frac{i}{2})^{24}$

Answer 1

$left(1+frac{sqrt{3}}{2}+frac{i}{2}right)^{24}=left(1+cosfrac{pi}{6}+isinfrac{pi}{6}right)^{24}=left(2cos^2frac{pi}{12}+2isinfrac{pi}{12}cosfrac{pi}{12}right)^{24}=$

$=left(2cosfrac{pi}{12}left(cosfrac{pi}{12}+isinfrac{pi}{12}right)right)^{24}=2^{24}cos^{24}frac{pi}{12}left(cosfrac{24pi}{12}+isinfrac{24pi}{12}right)=$

$=2^{24}left(cos^2frac{pi}{12}right)^{12}left(cos2pi+isin 2piright)=2^{24}cdotleft(frac{1+cosfrac{pi}{6}}{2}right)^{12}(1+0i)=$

$=2^{24}cdotfrac{(1+sqrt{3}/2)^{12}}{2^{12}}=2^{24}cdotfrac{(2+sqrt{3})^{12}}{2^{24}}=(2+sqrt{3})^{12}$

Думаю, что это и есть предполагаемый ответ, поскольку возвести двучлен $2+sqrt{3}$ в 12-ю степень с помощью бинома Ньютона, конечно, можно, но довольно утомительно.

Answer 2

Поэтому это положительное число является модулем, а аргумент косинуса и синуса в скобке - аргументом

Answer 3

На занятиях я даю студентам оба способа. Второй большинству нравится больше.

Answer 4

Как я понял, вы перевели в тригонометрическое представление sqrt(3)/2 + i/2? Но вот как вы перешли из (1 + cos(pi/6) + isin(pi/6)) в (2cos^2(pi/12) + 2isin(pi/12) * cos(pi/12) не очень понятно?

Answer 5

P.S Получается можно разделить в комплексном числе вещественную часть, а затем представить его в тригонометрическом виде и прибавить отделенную вещественную часть?

Answer 6

Я пользуюсь тем, что если удается представить комплексное число в виде r(cos ф+isin ф), где r>0, то r является модулем этого числа, a ф является аргументом этого числа. Поэтому на первом этапе решения я предлагаю немного расслабиться, забыть про комплексные числа, а вместо этого немного поработать с тригонометрическими формулами. Если Вы их плохо знаете, повторите, а потом снова посмотрите мое решение