Question

Найдите z6 в показательной форме
z = 1/2 + i [tex]Найдите z6 в показательной форме
z = 1/2 + i корень из 3 /2

Answer 1

$z=frac{1}{2}+ifrac{sqrt{3}}{2}$
По формуле Муавра

$z=rho(cosvarphi+isinvarphi)$

Здесь $rho=sqrt{(frac{1}{2})^2+(frac{sqrt{3}}{2})^2}$

$rho=sqrt{frac{1}{4}+frac{3}{4}}$

$rho=1$

 В данном случае формула принимает вид

$z=cosvarphi+isinvarphi$

Теперь вычислим $cosvarphi$

$cosvarphi=frac{frac{1}{2}}{rho}$

$cosvarphi=frac{frac{1}{2}}{1}$
$cosvarphi=frac{1}{2}$

$varphi=pmfrac{pi}{3}+2pi*n,quad nin Zquad (1)$

То же самое с синусом

$sinvarphi=frac{frac{sqrt{3}}{2}}{rho}$

$sinvarphi=frac{sqrt{3}}{2}$

$varphi=(-1)^kfrac{pi}{3}+pi*k,quad kin Zquad(2)$

Учитывая, формулы (1) и (2) получаем, что угол $varphi$ может принадлежать только первой четверти.

То есть $varphi =frac{pi}{3}+2pi n,quad nin Z$

 В данном случае подставим в формулу Муавра

$z=e^{ifrac{pi}{3}}$

$z^6=e^{6*ifrac{pi}{3}}$

$z^6=e^{2pi i}$

По формуле Муавра

$e^{2pi*i}=cos(2pi)+isin(2pi)=1+i*0=1$

Значит $z^6=1$.

Ответ: 1.