Question

Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М0
(1; -2; 1) перпендикулярно прямой {x-2y+z-3=0 ; x+y-z+2=0}

Прямая = система уравнений

Answer 1

Плоскость имеет вид $A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$, где $(x_0, y_0, z_0)$ координаты точки, через которую проходит плоскость, а $(A, B, C)$ её нормальный вектор.

За нормальный вектор можно взять направляющий вектор прямой. Найдём его как векторное произведение нормальных векторов двух других плоскостей (через которые и задана прямая) $overline{a} = overline{n}_1 times overline{n}_2 = begin{vmatrix} i & j & k \ 1 & -2 & 1 \ 1&1 & -1end{vmatrix} = overline{i}(2 - 1) - overline{j}(-1 - 1) + overline{k}(1 + 2) = overline{i} + 2overline{j} + 3overline{k}$

Итого наш ответ: $P : (x - 1) + 2(y + 2) + 3(z - 1) = 0$

или $P : x + 2y + 3z = 0$