Question

Постройте график функции. Укажите область определения, множество значений, промежутки монотонности, нули функции:

y = | 2 - квадратный корень(5 + |x|) |

Answer 1

$y (x)= |2 - sqrt{5 + |x| } |$
областью определения y(x) будет x€R
(5+|x|>0 при любых x)

Теперь найдем множество значений, исходя из свойств модуля и квадратного корня
$|x| geqslant 0$
$5 + |x | geqslant 5$
$sqrt{5} geqslant sqrt{5 + |x| } geqslant 0$
$2 - sqrt{5 + |x|} leqslant 2 - sqrt{5}$
$y(x) = |2 - sqrt{5 + |x|} | geqslant \ geqslant | 2 - sqrt{5} | = sqrt{5} - 2 > 0$
как мы видим нулей функции у(х) нет

теперь раскроем внутренний модуль,
а затем внешний

$y (x)= |2 - sqrt{5 + |x| } | \ = left { |{ 2 - sqrt{5 + x} |} , x geqslant 0 atop |{2 - sqrt{5 - x} | , : x < 0} right. = \ = left { { - 2 + sqrt{5 + x} } , x geqslant 0 atop { - 2 + sqrt{5 - x} , : x < 0} right.$

внешний модуль раскрывается основываясь на сравнении значения квадратного корня и 2 при значениях х из заданных интервалов.

из вида функции и свойств квадратного корня мы видим , что
при х>0 функция возрастает
при х<0 функция убывает


причём минимум функции будет при х=0


$y (0)= |2 - sqrt{5 + |0| } | = \ = sqrt{5} - 2$

Функции , составляющие y(x)

$y_1 = { - 2 + sqrt{5 + x}} \ y_2 = { - 2 + sqrt{5 - x}}$
строятся на основе функции
$sqrt{x}$
соответствующими сдвигами вдоль осей ординат и абсцисс

Финальный график - см на фото



удачи!