Question

Написать все формулы, связанные с радиусами описанной и вписанной окружности.

Answer 1

Обозначения:

R — радиус описанной окружности;

r — радиус вписанной окружности;

$r_a$ — радиус вневписанной окружности, соответствующей стороне $a$;

$alpha, : beta, : gamma$ — углы, противолежащие сторонам a, b и c соответственно;

$h_a$ — высота, соответствующая стороне a.

$dfrac{a}{sin alpha}=dfrac{b}{sin beta}=dfrac{c}{ sin gamma}=2R$ — теорема синусов.

$S=dfrac{abc}{4R}=pr$ — формулы площади треугольника.

$dfrac{1}{r_a}+dfrac{1}{r_b}+dfrac{1}{r_c}=dfrac{1}{h_a}+dfrac{1}{h_b}+dfrac{1}{h_c}=dfrac{1}{r}$ — связь между радиусами вневписанных окружностей, длинами высот и радиусом вписанной окружности.

$r_a+r_b+r_c-r=4R$

$cos alpha + cos beta + cos gamma=1+ dfrac{r}{R}$

$S=2R^2 sin alpha sin beta sin gamma=Rr(sin alpha + sin beta + sin gamma)=\ =4Rr cos dfrac{alpha}{2} cos dfrac{beta}{2} cos dfrac{gamma}{2}=sqrt{rr_ar_br_c$

— менее известные формулы площади треугольника.

$d^2=R^2-2Rr$ — формула Эйлера, где d — расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей.

$d_a^2=R^2+2Rr_a$ — аналог формулы Эйлера для вычисления расстояния между центрами вневписанной (соответствующей стороне a) и описанной окружностей.

***

Этого хватит? Ведь записать «все» формулы невозможно: комбинируя имеющиеся формулы и находя новые зависимости, можно создать практически бесконечный список.