Question

Срочно! Помогите решить систему уравнений

$frac{4x - 4y}{x + y} + frac{3x + 3y}{x - y} = 13$
${x}^{2} - {y}^{2} = 12$

Answer 1

$left { {{frac{4x-4y}{x+y}+frac{3x+3y}{x-y}=13 } atop {x^2-y^2=12}} right.$ ⇔

⇔$left { {{frac{4(x-y)^2+3(x+y)^2}{(x-y)(x+y)}=13 } atop {(x-y)(x+y)=12}} right.$

пусть x + y = a; x - y = b, тогда: $left { {{frac{4b^2+3a^2}{ab}=13 } atop {ab=12}} right.$ ⇔$left { {{4b^2+3a^2=13ab} atop {ab=12}} right.$

можно разложить на множители первое выражение:

$4b^2 - 13ab+3a^2 = 0,\D = 169a^2 - 48a^2 = 121a^2 = (11a)^2,\b_{1,2} = frac{13a +- 11a}{8},\b_{1} = 3a; b_{2} = 0,25a$

тогда $4b^2-13ab+3a^2 = 4(b - 3a)(b - 0,25a) = (b - 3a)(4b - a)$

и система будет такой:

$left { {{(b-3a)(4b-a)=0} atop {ab=12}} right.$ ⇔

⇔ $left { {{a = frac{12}{b} } atop {(b-frac{36}{b})(4b-frac{12}{b})=0 }} right.$

можно решить второе, домножив на b:

$(b^2 - 36)(4b^2-12)=0,\left { {{b^2-36=0} atop {4b^2-12=0}} right.$ ⇔

$left { {{b = +- 6} atop {b = +-sqrt{3} }} right.$

получается вот это:

$left { {{b=6} atop {a=2}} right. left { {{b=-6} atop {a=-2}} right. left { {{b=sqrt{3} } atop {a=4sqrt{3} }} right. left { {{b=-sqrt{3} } atop {a=-4sqrt{3} }} right.$

подставляем x и y:

$left { {{x-y=6} atop {x+y=2}} right. left { {{x-y=-6} atop {x+y=-2}} right. left { {{x-y=sqrt{3} } atop {x+y=4sqrt{3} }} right. left { {{x-y=-sqrt{3} } atop {x+y=-4sqrt{3} }} right.$

ищем корни поочередно методом сложения:

1) $x - y + x + y = 6 + 2,\2x = 8\x = 4;\y = -2$

2) $x-y+x+y = -6-2,\2x=-8\x=-4,\y=2$

3) $x-y+x+y=sqrt{3}+4sqrt{3},\ 2x=5sqrt{3},\ x=2,5sqrt{3},\ y=1,5sqrt{3};$

4) $x-y+x+y=-sqrt{3}-4sqrt{3},\ 2x=-5sqrt{3},\ x=-2,5sqrt{3};\y=-1,5sqrt{3}.$

Ответ: $(4;-2);(-4;2);(2,5sqrt{3};1,5sqrt{3});(-2,5sqrt{3};-1,5sqrt{3})$

Может быть есть решение более короче) И правильнее))

Answer 2

Большое спасибо. У меня тоже получилось)