Question

основания пирамиды прямоугольника со сторонами 10 см и 18 см, высота пирамиды проходит через точку пересечения диагонали и равна 12 см. Найти площадь поверхности

Answer 1

Пусть $SABCD$ - четырёхугольная пирамида, в основании которой - прямоугольник $ABCD$ со сторонами $AD = BC = 18$ см и $CD = AB = 10$ см. Точка $O$ - точка пересечения диагоналей прямоугольника $ABCD$. $SO = 12$ см - высота пирамиды $SABCD$.

Найти: $S_{_{Pi}} - ?$

Решение. Площадь полной поверхности пирамиды вычисляется по формуле:

$S_{_{Pi}} = S_{_{text{B}}} + S_{_{text{O}}}$, где $S_{_{text{B}}}$ - площадь боковой поверхности, $S_{_{text{O}}} = AD cdotp CD = 18 cdotp 10 = 180$ см² - площадь основания.

$SO bot (ABCD) Rightarrow SO bot OK$, $OK$ - проекция $SK$ на плоскость $(ABCD) Rightarrow Delta SOK$ - прямоугольный.

Аналогично, $Delta SOM$ - прямоугольный.

$OK = dfrac{AD}{2} = dfrac{18}{2} = 9$ см.

Из $Delta SOK (angle SOK = 90^{circ}):$ по теореме Пифагора

$SK = sqrt{SO^{2} + OK^{2}} = sqrt{12^{2} + 9^{2}} = sqrt{144 + 81} = sqrt{225} = 15$ см.

$OM = dfrac{CD}{2} = dfrac{10}{2} = 5$ см.

$S_{_{Delta CSD}} = S_{_{Delta BSA}} = dfrac{1}{2} cdotp SK cdotp CD = dfrac{1}{2} cdotp 15 cdotp 10 = 75$ см²

Из $Delta SOM (angle SOM = 90^{circ}):$ по теореме Пифагора

$SM = sqrt{SO^{2} + OM^{2}} = sqrt{12^{2} + 5^{2}} = sqrt{144 + 25} = sqrt{169} = 13$ см.

$S_{_{Delta ASD}} = S_{_{Delta BSC}} = dfrac{1}{2} cdotp SM cdotp AD = dfrac{1}{2} cdotp 13 cdotp 18 = 117$ см²

$S_{_{text{B}}} = 2S_{_{Delta CSD}} + 2S_{_{Delta ASD}} = 2 cdotp 75 + 2 cdotp 117 = 384$ см².

$S_{_{Pi}} = S_{_{text{B}}} + S_{_{text{O}}} = 384 + 180 = 564$ см².

Ответ: 564 см².

Answer 2

SK и SM - высоты ΔDSC и ΔASD соответственно и апофемы пирамиды SABCD.