Question

Выполните действия над комплексными числами и результат запишите в экспоненциальной форме.

Answer 1

Рассмотрим комплексное число:

$z=-2-2i$

Найдем его модуль и аргумент:

$|z|=sqrt{(-2)^2+(-2)^2}=sqrt{8}=2sqrt{2}$

$arg z=mathrm{arctg}dfrac{-2}{-2}-pi=mathrm{arctg}1-pi=dfrac{pi }{4}-pi=-dfrac{3pi }{4}$

Запишем число в тригонометрической форме:

$z=2sqrt{2} left(cosleft(-dfrac{3pi }{4}right)+isinleft(-dfrac{3pi }{4}right)right)$

Для возведения в степень воспользуемся формулой Муавра:

$(rholeft(cosphi+isinphiright))^n=rho^nleft(cos nphi+isin nphiright)$

$z^{40}=(2sqrt{2})^{40} left(cosleft(-dfrac{3pi }{4}cdot40right)+isinleft(-dfrac{3pi}{4}cdot40right)right)=\=2^{40}cdot(sqrt{2})^{40} left(cosleft(-3picdot10right)+isinleft(-3picdot10right)right=\=2^{40}cdot2^{20} left(cosleft(-30piright)+isinleft(-30piright)right=2^{60}left(cos0+isin0right)$

Запишем результат в экспоненциальной форме:

$rholeft(cosphi+isinphiright)=rho e^{iphi}$

$z^{40}=2^{60}e^{0i}$