Question

найти предел. 
$lim_{x to infty} x^{frac{1}{3} }((x+1)^{frac{2}{3} }-(x-1)^{frac{2}{3} })$

Answer 1

Умножим числитель и знаменатель на $((x+1)^{frac{4}{3}}+(x+1)^{frac{2}{3}}(x-1)^{frac{2}{3}}+(x-1)^{frac{4}{3}})$ чтобы получить разность кубов

$displaystyle = lim_{x to infty}frac{x^{frac{1}{3}}((x+1)^{frac{2}{3}}-(x-1)^{frac{2}{3}})((x+1)^{frac{4}{3}}+(x+1)^{frac{2}{3}}(x-1)^{frac{2}{3}}+(x-1)^{frac{4}{3}})}{(x+1)^{frac{4}{3}}+(x+1)^{frac{2}{3}}(x-1)^{frac{2}{3}}+(x-1)^{frac{4}{3}}}=\ \= lim_{x to infty}frac{x^{frac{1}{3}}((x+1)^2-(x-1)^2)}{(x+1)^{frac{4}{3}}+(x+1)^{frac{2}{3}}(x-1)^{frac{2}{3}}+(x-1)^{frac{4}{3}}}=\ \\= lim_{x to infty}frac{x^{frac{1}{3}}(x+1-x+1)(x+1+x-1)}{(x+1)^{frac{4}{3}}+(x+1)^{frac{2}{3}}(x-1)^{frac{2}{3}}+(x-1)^{frac{4}{3}}}=$

$displaystyle = 4lim_{x to infty}frac{x^{frac{4}{3}}}{(x+1)^{frac{4}{3}}+(x+1)^{frac{2}{3}}(x-1)^{frac{2}{3}}+(x-1)^{frac{4}{3}}}=\ \ =4 lim_{x to infty}frac{1}{(1+frac{1}{x})^{frac{4}{3}}+(1+frac{1}{x})^{frac{2}{3}}(1-frac{1}{x})^{frac{2}{3}}+(1-frac{1}{x})^{frac{4}{3}}}=frac{4}{1+1+1}=frac{4}{3}$

Answer 2

Харош батя.

Answer 3

))