Question

Решите систему уравнений, пожалуйста. 10 класс, способ подстановки тут явно не сработает. Даю достаточное количество баллов, решение должно быть подробное. Сделаю лучшим ответом. Ответы должны получиться (0;0), (1;1)

Answer 1

Не знаю чем не понравился способ подстановки, всё нормально работает. Конечно, может есть метод и попроще, но и этот нормален.

$begin{cases}x+2y=3y^2smallskip\2x+y=3x^2end{cases}medskip\1)~x+2y=3y^2Rightarrow x=3y^2-2ymedskip\2)~2x+y=3x^2medskip\2(3y^2-2y)+y=3{left(3y^2-2yright)}^2medskip\6y^2-4y+y=3left(9y^4-12y^3+4y^2right)medskip\-27y^4+36y^3+6y^2-12y^2-3y=0mid~:(-3)medskip\9y^4-12y^3+2y^2+y=0medskip\yleft(9y^3-12y^2+2y+1right)=0medskip\y_1=0 Rightarrow 9y^3-12y^2+2y+1=0$

Здесь, если кубическое уравнение имеет целые корни, то все они - делители свободного члена. В нашем случае либо $1$, либо $-1$. Проверкой находим $y_2=1$. Далее столбиком делим кубическое уравнение на линейное. (см. приложение)

$dfrac{9y^3-12y^2+2y+1}{y-1}=9y^2-3y-1$

$9y^2-3y-1=0medskip\y_{3,4}=dfrac{3pmsqrt{9+36}}{18}=dfrac{3pmsqrt{45}}{18}=dfrac{3pm3sqrt{5}}{18}=dfrac{1pmsqrt{5}}{6}medskip\y_3=dfrac{1-sqrt{5}}{6}medskip\y_4=dfrac{1+sqrt{5}}{6}$

$3)~x=3y^2-2ymedskip\x_1=3cdot 0^2-2cdot 0=0medskip\x_2=3cdot 1-2cdot 1=1medskip\x_3=3{left(dfrac{1-sqrt{5}}{6}right)}^2-2{left(dfrac{1-sqrt{5}}{6}right)}=dfrac{3(1-2sqrt{5}+5)}{36}-dfrac{2(1-sqrt{5})}{6}=medskip\=dfrac{1-2sqrt{5}+5-4+4sqrt{5}}{12}=dfrac{2+2sqrt{5}}{12}=dfrac{1+sqrt{5}}{6}$

Далее, позволю себе заявить, что $x_4=dfrac{1-sqrt{5}}{6}$, поскольку находим решения симметрических многочленов (если не веришь, можешь посчитать $x_4$ руками).

Ответ. $(0;0),~(1;1),~left(dfrac{1+sqrt{5}}{6};dfrac{1-sqrt{5}}{6}right),~left(dfrac{1-sqrt{5}}{6};dfrac{1+sqrt{5}}{6}right)$

Answer 2

Спасибо большое <3 Способ подстановки не то чтобы не понравился, просто посчитала неправильно, кажется. Получилось уравнение без свободного члена. Это меня и озадачило. Спасибо ещё раз)