Question

X^2+корень(x^2+2x+8)=12-2x

Answer 1

Обозначим $x^2+2x+8=t$. Делаем замену переменной:

$sqrt{x^2+2x+8}=20-(x^2+2x+8)\sqrt t=20-t$

Уравнение имеет решения, только если правая часть неравенства неотрицательна, $tleqslant 20$. При таких t обе части уравнения неотрицательны, можно возмести в квадрат, при этом подкоренное выражение автоматически неотрицательно:

$(sqrt t)^2=(20-t)^2\t=(20-t)^2geqslant0\t^2-40t+400=t\t^2-41t+400=0$

Получилось квадратное уравнение. Его можно решить, использовав теорему Виета или вычислив дискриминант.

$D=41^2-4cdot400=1681-1600=81=9^2\t=dfrac{41pm9}{2}$

Итак, t = 16 или t = 25. Второе решение не удовлетворяет полученному выше неравенству, используем первое решение:

$x^2+2x+8=16\x^2+2x+1=9\(x+1)^2=3^2\x=-1pm3\xin{-4,2}$

Ответ. x = -4 или x = 2.