Question

Даю 40 баллов!!!


Сто прямых параллельных прямой y=x пересекают график функции y=1/x. Найдите произведение абсцисс всех двухсот точек пересечения.

Answer 1

Прямая, параллельная прямой  y= kx,  имеет уравнение  y = kx + b.  

Абсциссами точек её пересечения с гиперболой у = 1/х являются оба корня уравнения  

k/x = kx + b  

Решим его    

kx² + bx – k = 0.    

D = b²+4k²

√D = √(b²+4k²)

$x_1=frac{-b-sqrt{b^2+4k^2}}{2k}$

$x_2=frac{-b+sqrt{b^2+4k^2}}{2k}$

Найдем их произведение:

$x_1*x_2=frac{-b-sqrt{b^2+4k^2}}{2k}*frac{-b+sqrt{b^2+4k^2}}{2k}=\ \=frac{b^2-(b^2+4k^2)}{2k*2k}=frac{b^2-b^2-4k^2}{4k^2}=frac{-4k^2}{4k^2}=-1$

Произведение корней этого уравнения равно –1.

Получаем произведение абсцисс двух точек пересечения одной прямой.

Перемножив cто таких произведений, получаем ответ 1.

Ответ: 1