Question

Дан некоторый острый угол α=60∘
. На одной из его сторон отмечены точки A1
и A2
, на другой стороне отмечена точка B
.
Вершина угла — Н
. Известно, что HA1=2
, A1A2=8
. При какой величине отрезка HB
величина острого угла между прямыми A1B
и A2B
будет максимальна? Ответ введите с точностью до десятитысячных.

Answer 1

Ответ: 2*sqrt(5). Пояснение: Выразим косинус угла между прямыми BA1  и BA2, при помощи теоремы косинусов.Обозначим BA1=a , BA2=b , α=угол между BA1  и BA2 ,

тогда cos(α)=(a^2+b^2-64)/(2*a*b). После этого нужно выразить а и b через x. Для этого тоже воспользуемся теоремой косинусов (рассматривая треугольники BHA1 и BHA2 соответственно). Получим a^2=x^2-2*x+4 , b^2= x^2-10*x+100 . Эти значения подставим в выражение для косинуса альфы. Теперь подумаем, когда угол между прямыми максимальный? ответ: когда косинус принимает минимальное значение.

Теперь у нас есть выражение для  cos(α) зависящее только от x ,и для получения ответа, нам нужно найти минимум этого выражения, то есть такой х , что выражение cos(α) минимально.