Question

Найти общее решение системы уравнений:
dx/dt=2x+y
dy/dt=3x+4y

Answer 1

для простоты обозначим производные как:

dx/dt=x'

dy/dt=y'

применяем метод исключения (выражаем одну функцию через другую)

$left{begin{matrix}x'=2x+y\ y'=3x+4y end{matrix}right. Leftrightarrow left{begin{matrix}y=x'-2x\ y'=3x+4y end{matrix}right. \ \ y'=x''-2x' \ \ x''-2x'=3x+4(x'-2x) \ x''-2x'=3x+4x'-8x \ x''-6x'+5x=0 \ \ k^2-6k+5=0 \ k_1=1 \ k_2=5$

$x(t)=C_1e^t+C_2e^{5t} \ \ y(t)=x'-2x =C_1e^t+5C_2e^{5t}-2*(C_1e^t+C_2e^{5t})=\=C_1e^t+5C_2e^{5t}-2C_1e^t-2C_2e^{5t}=-C_1e^t+3C_2e^{5t} \ \OTBET:begin{pmatrix}C_1e^t+C_2e^{5t}\ -C_1e^t+3C_2e^{5t}end{pmatrix}$