Question

Докажите что выражение 4 в сороковой степени минус 1 делится на цело на 5

Answer 1

$4^{40}-1=(4^{20})^2-1=(4^{20}-1)(4^{20}+1)=\\(4^{10}-1)(4^{10}+1)(4^{20}+1)=(4^{5}-1)(4^{5}+1)(4^{10}+1)(4^{20}+1)$

выражение $4^{5}+1$ делится нацело на 5, докажем это: $frac{4^{5}+1}{5}=frac{2^{10}+1}{5}=frac{1024+1}{5}=frac{1025}{5}=205$

чтд

вообще, если тебе интересно, то выражение $2^{4n}-1$ (оно же $4^{2n}-1$ или $16^{n}-1$) при $nin N$ всегда делится нацело на 5