Question

Доказать что четырехугольник ABCD с вершинами в точках A(-2,6) B(-8,-2) C(0,8) D(6,0) является квадратом

Answer 1

Чтобы доказать,что данная фигура является квадратом,нужно,чтобы стороны были попарно параллельны и длина каждой стороны должна быть одинаковой. P.S. С данными точками четырехугольник не является квадратом. Ты скорее всего потерял(а) в точке C знак минус, то есть C(0,-8).

Для начала найдём векторы сторон,из которых состоит наш четырехугольник:(так как на сайте нет стрелочек над векторами,буду писать слово вектор или сочетание вершин например АВ)

Вектор AB = {-8-(-2);-2-6}={-6;-8}

Вектор BC = {0-8;-8-(-2)}={8;-6}

Вектор CD = {6-0;0-(-8)}={6;8}

Вектор DA = {(-2)-6;6-0)}={-8;6}

Чтобы проверить параллельны ли вектора,они должны быть коллинеарными,то есть отношения их координат должны быть равны одинаковому значению (назовем его k):

AB||CD? - $frac{-6}{6} =frac{-8}{8} =k=-1$ .Следовательно AB||CD.

BC||DA? - $frac{8}{-8} =frac{-6}{6} =k=-1$ . Следовательно BC||DA.

Теперь посчитаем длины векторов(Достаточно будет посчитать длины 2-х векторов,так как векторы коллинеарны):

|AB|=$sqrt{(-6)^{2}+(-8)^{2} } =sqrt{36+64} =10$ = |CD|

|BC|=$sqrt{8^{2} + (-6)^{2} } =sqrt{64+36}=10$ = |DA|

Так как |AB|=10 и |BC|=10, то все четыре стороны равны. Следовательно,учитывая коллинеарность векторов и одинаковые длины, данный четырехугольник является квадратом.