Question

Помогите, пожалуйста, с пределами.

Answer 1

$limlimits_{nto +infty}} dfrac{sqrt{(n^3+1)(n^2+3)}-sqrt{n(n^4+2)}}{2sqrt{n}}$

Для вычисления предела будем использовать равенство $limlimits_{nto +infty}} dfrac{1}{n}=0$, которое обобщается на любую натуральную степень знаменателя: $limlimits_{nto +infty}} dfrac{1}{n^k}=0$.

Преобразуем выражение под знаком предела (отдельно, чтобы было покороче, но можно переписывать цепочку и со знаком предела:

$dfrac{sqrt{(n^3+1)(n^2+3)}-sqrt{n(n^4+2)}}{2sqrt{n}}=\\=dfrac{left(sqrt{(n^3+1)(n^2+3)}-sqrt{n(n^4+2)}right)left(sqrt{(n^3+1)(n^2+3)}+sqrt{n(n^4+2)}right)}{2sqrt{n}left(sqrt{(n^3+1)(n^2+3)}+sqrt{n(n^4+2)}right)}=$

$= dfrac{left(sqrt{(n^3+1)(n^2+3)}right)^2-left(sqrt{n(n^4+2)}right)^2}{2left(sqrt{n(n^3+1)(n^2+3)}+sqrt{n^2(n^4+2)}right)}=\\= dfrac{(n^3+1)(n^2+3)-n(n^4+2)}{2left(sqrt{n(n^3+1)(n^2+3)}+sqrt{n^2(n^4+2)}right)}=\\= dfrac{n^5+3n^3+n^2+3-n^5-2n}{2left(sqrt{n^6+3n^4+n^3+3n}+sqrt{n^6+2n^2}right)}=\\= dfrac{3n^3+n^2-2n+3}{2left(sqrt{n^6+3n^4+n^3+3n}+sqrt{n^6+2n^2}right)}=$

$=dfrac{dfrac{1}{n^3} left(3n^3+n^2-2n+3right)}{2cdotdfrac{1}{n^3}left(sqrt{n^6+3n^4+n^3+3n}+sqrt{n^6+2n^2}right)}=\\=dfrac{dfrac{3n^3}{n^3}+dfrac{n^2}{n^3}-dfrac{2n}{n^3}+dfrac{3}{n^3}}{2left(sqrt{dfrac{n^6}{n^6}+dfrac{3n^4}{n^6}+dfrac{n^3}{n^6}+dfrac{3n}{n^6}}+sqrt{dfrac{n^6}{n^6}+dfrac{2n^2}{n^6}}right)}=$

$=dfrac{3+dfrac{1}{n}-dfrac{2}{n^2}+dfrac{3}{n^3}}{2left(sqrt{1+dfrac{3}{n^2}+dfrac{1}{n^3}+dfrac{3}{n^5}}+sqrt{1+dfrac{2}{n^4}}right)}$

Вернемся к пределу:

$limlimits_{nto +infty}} dfrac{sqrt{(n^3+1)(n^2+3)}-sqrt{n(n^4+2)}}{2sqrt{n}}=\=limlimits_{nto +infty}} dfrac{3+dfrac{1}{n}-dfrac{2}{n^2}+dfrac{3}{n^3}}{2left(sqrt{1+dfrac{3}{n^2}+dfrac{1}{n^3}+dfrac{3}{n^5}}+sqrt{1+dfrac{2}{n^4}}right)}=\=dfrac{3+0-0+0}{2left(sqrt{1+0+0+0}+sqrt{1+0}right)}=dfrac{3}{2left(sqrt{1}+sqrt{1}right)}=dfrac{3}{2left(1+1right)}=dfrac{3}{4}$

$limlimits_{nto +infty}}left(dfrac{n^2-3n+6}{n^2+5n+1}right)^{n/2}$

Будет использоваться второй замечательный предел $limlimits_{nto +infty}}left(1+dfrac{1}{n}right)^{n}=e$

Преобразуем выражение, стоящее под знаком предела:

$dfrac{n^2-3n+6}{n^2+5n+1}=dfrac{(n^2+5n+1)-5n-1-3n+6}{n^2+5n+1}=1+dfrac{-8n+5}{n^2+5n+1}$

Предел примет вид:

$limlimits_{nto +infty}}left(dfrac{n^2-3n+6}{n^2+5n+1}right)^{n/2}=limlimits_{nto +infty}}left(1+dfrac{-8n+5}{n^2+5n+1}right)^{n/2}=\\=limlimits_{nto +infty}}left(1+dfrac{-8n+5}{n^2+5n+1}right)^{dfrac{n^2+5n+1}{-8n+5}cdotdfrac{-8n+5}{n^2+5n+1}cdotdfrac{n}{2} }=\\=expleft({limlimits_{nto +infty}dfrac{-8n+5}{n^2+5n+1}cdotdfrac{n}{2}}right)=expleft({dfrac{1}{2}limlimits_{nto +infty}dfrac{-8n^2+5n}{n^2+5n+1}}right)=$

$=expleft({dfrac{1}{2}limlimits_{nto +infty}dfrac{-dfrac{8n^2}{n^2}+dfrac{5n}{n^2}}{dfrac{n^2}{n^2}+dfrac{5n}{n^2}+dfrac{1}{n^2}}}right)=expleft({dfrac{1}{2}limlimits_{nto +infty}dfrac{-8+dfrac{5}{n}}{1+dfrac{5}{n}+dfrac{1}{n^2}}}right)=\\=expleft(dfrac{1}{2}cdotdfrac{-8+0}{1+0+0}right)=expleft(dfrac{1}{2}cdot(-8)right)=expleft(-4right)=e^{-4}$

Аргумент функции exp есть показатель экспоненты: $exp(x)=e^x$.

Answer 2

ебтвоюмать