Question

1. Для каждой тройки целых положительных чисел x,y,z, удовлетворяющих системе,
найдите значение суммы x+y+z. В ответе укажите большую из этих сумм.
2. Если x,y,z - целые положительные числа, удовлетворяющие системе, то сумма x+y+z равна.

Answer 1

1) Складываем уравнения:

$2(x^2+2xy+y^2)=18\(x+y)^2=9\x+y=3$

Значит, x и y равны 1 и 2 в каком-то порядке. Получаем два случая:

а) x = 1, y = 2:

$1^2+2cdot1cdot2+5cdot2^2-4cdot2z+z^2=13\z^2-8z+12=0$

По теореме Виета угадываем z = 2 или z = 6. Бóльшая сумма получается при z = 6; x + y + z = 9.

б) x = 2, y = 1:

$2^2+2cdot1cdot2+5cdot1^2-4cdot1cdot z+z^2=13\z^2-4z=0\z=4$

Тут x + y + z = 1 + 2 + 4 = 7 < 9.

Ответ: 9.

2) Переписываем:

$begin{cases}dfrac{(2x+y)^2}{(y-1)^2}=4\(x-z)(z+3)=5end{cases} begin{cases}dfrac{2x+y}{y-1}=2\(x-z)(z+3)=5end{cases}$

Во втором уравнении 5 представляется в виде произведения двух сомножителей, причём второй не меньше 4. Единственный вариант – $1cdot5=5$, при этом z = 2, x = z + 1 = 3. Подставляем x = 3 в первое уравнение:

$dfrac{6+y}{y-1}=2\2y-2=6+y\y=8$

x + y + z = 3 + 8 + 2 = 13.

Ответ: 13.