Question

Нужна помощь
Основанием четырёхугольной пирамиды является ромб с острым углом α и меньшей диагональю а. Все двугранные углы при основании пирамиды равны β. Найдите: 1) площадь полной поверхности пирамиды; 2) высоту пирамиды.

Answer 1

Пусть $SABCD$ — четырёхугольная пирамида, в основании которой ромб $ABCD.$ Меньшая диагональ ромба $BD = a$ и острый угол $angle BAD = alpha.$ $SO$ высота пирамиды, значит, $SO bot (ABCD)$, следовательно $SO bot OK,$ так как $OK in (ABCD),$ $OK$ — проекция $SK$ на плоскость $(ABCD),$ $OK bot CD$ ⇒ по теореме о трёх перпендикуляров (ТТП) $SK bot CD$, следовательно, $angle SKO = beta$ — линейный угол двугранного угла при ребре $CD;$ так как все двугранные углы при основании равны, то точка О — центр вписанной окружности, то есть $OK = r.$

Найти: $1) S_{_{Pi}} - ? 2) SO - ?$

Решение. Ромб $ABCD$ состоит из четырёх равных прямоугольных треугольников: $triangle AOD = triangle AOB = triangle BOC = triangle COD.$

Рассмотрим $triangle AOD (angle AOD = 90^{circ}):$

$OD = dfrac{BD}{2} = dfrac{a}{2}$

$angle OAD = dfrac{angle BAD}{2} = dfrac{alpha}{2}$

$text{sin} dfrac{alpha}{2} = dfrac{OD}{AD} Rightarrow AD = dfrac{OD}{text{sin} dfrac{alpha}{2}} = dfrac{a}{2 text{sin} dfrac{alpha}{2}}$

$text{tg} dfrac{alpha}{2} = dfrac{OD}{AO} Rightarrow AO = dfrac{OD}{text{tg} dfrac{alpha}{2}} = dfrac{a}{2 text{tg} dfrac{alpha}{2}}$

Значит, диагональ $AC = 2AO = dfrac{2a}{2 text{tg} dfrac{alpha}{2}} = dfrac{a}{text{tg} dfrac{alpha}{2}}$

Рассмотрим $triangle COD (angle COD = 90^{circ}):$

$r = OK = dfrac{CO cdotp OD}{CD} = dfrac{dfrac{a}{2 text{tg} dfrac{alpha}{2}} cdotp dfrac{a}{2}}{dfrac{a}{2 text{sin} dfrac{alpha}{2}}} = dfrac{a^{2} cdotp 2 text{sin} dfrac{alpha}{2}}{4a text{tg} dfrac{alpha}{2}} = dfrac{a text{cos} dfrac{ alpha}{2}}{2}$

Высота ромба $BM = 2OK = dfrac{2a text{cos} dfrac{alpha}{2} }{2} = a text{cos} dfrac{alpha}{2}$

Площадь основания пирамиды $S_{_{text{O}}} = BO cdotp CD = a text{cos} dfrac{alpha}{2} cdotp dfrac{a}{2 text{sin} dfrac{alpha}{2}} = dfrac{a^{2} text{cos} dfrac{alpha}{2}}{2 text{sin} dfrac{alpha}{2}}} = dfrac{a^{2} text{ctg} dfrac{alpha}{2}}{2}$

Рассмотрим $triangle SOK (angle SOK = 90^{circ}):$

$text{tg} beta = dfrac{SO}{OK} Rightarrow SO = OK text{tg} beta = dfrac{a text{cos} dfrac{ alpha}{2} text{tg} beta}{2}$

$text{cos}beta = dfrac{OK}{SK} Rightarrow SK = dfrac{OK}{text{cos}beta} = dfrac{a text{cos} dfrac{ alpha}{2}}{2 text{cos}beta}$

Определим площадь треугольника $SDC:$

$S_{_{triangle SDC}} = dfrac{SK cdotp CD}{2} = dfrac{a text{cos} dfrac{ alpha}{2} cdotp a}{2 cdotp 2 text{cos}beta cdotp 2 text{sin} dfrac{alpha}{2}}} = dfrac{a^{2} text{cos} dfrac{ alpha}{2}}{8text{cos}beta text{sin} dfrac{alpha}{2}} = dfrac{a^{2} text{ctg} dfrac{alpha}{2}}{8text{cos}beta}$

Из-за того, что у ромба все стороны равны и все двугранные углы при основании равны, то все боковые грани пирамиды будут тоже равны. Следовательно, площадь боковой поверхности $S_{_{text{B}}} = 4S_{_{triangle SDC}} = dfrac{4a^{2} text{ctg} dfrac{alpha}{2}}{8text{cos}beta} = dfrac{a^{2} text{ctg} dfrac{alpha}{2}}{2text{cos}beta}$

Теперь, зная площадь основания и боковой поверхности пирамиды можно найти площадь полной поверхности:

$S_{_{Pi}} = S_{_{text{O}}} + S_{_{text{B}}} = dfrac{a^{2} text{ctg} dfrac{alpha}{2}}{2} + dfrac{a^{2} text{ctg} dfrac{alpha}{2}}{2text{cos}beta} = dfrac{a^{2} text{ctg} dfrac{alpha}{2} (text{cos} beta + 1)}{2text{cos} beta}$

Ответ: площадь полной поверхности пирамиды равна $dfrac{a^{2} text{ctg} dfrac{alpha}{2} (text{cos} beta + 1)}{2text{cos} beta};$ высота пирамиды равна $dfrac{a text{cos} dfrac{ alpha}{2} text{tg} beta}{2}.$