Question

Написать уравнение касательной и нормали к кривой x^3+y^2+2x-6 в точке с ординатой y0=3

Answer 1

Касательная - прямая, которая касается к кривой в точке (x₀;3), где x₀ - абсцисса касания. Подставим координаты точки касания в заданное уравнение кривой

$x_0^3+3^2+2x_0-6=0\x_0^3+2x_0+3=0$

Путем подбора $x_0=-1$, уравнение имеет единственный корень, так как функция, соответствующая данному уравнению, является монотонной.

(-1;3) - точка касания касательной.

$displaystyle frac{partial y}{partial x}=-frac{cfrac{partial}{partial x}left(x^3+y^2+2x-6right)}{cfrac{partial}{partial y}left(x^3+y^2+2x-6right)}=-frac{3x^2+2}{2y}$

Найдем теперь значение производной в точке (-1;3).

$displaystyle frac{partial}{partial x}f(-1;3)=-frac{3cdot (-1)^2+2}{2cdot 3}=-frac{5}{6}$

Уравнение касательной к кривой:

$displaystyle F(x)=y_0+y'(x_0)(x-x_0)=3-frac{5}{6}cdot left(x+1right)=frac{-5x}{6}+frac{13}{6}$

Уравнение нормали к кривой:

$displaystyle F_n=y_0-frac{x-x_0}{y'(x_0)}=3-frac{x+1}{-cfrac{5}{6}}=frac{6x}{5}+frac{21}{5}$