Question

дан куб (абсда1б1с1д1), ребро которого равно 1
найдите угол между векторами ДА1 и ДМ, где точка М- середина ребра СС1

Answer 1

Достроим сечение, проходящее через прямые А1Д и ДМ. Это будет трапеция  А1ДМР, МР║А1Д , МР=0,5*В1С=0,5*А1Д  (А1Д=В1С) .

А1Д=√(АА1²+АД²)=√(1+1)=√2 ,  МР=0,5*√2=√2/2 .

Проведём высоты трапеции:  РН⊥А1Д и МК⊥А1Д .

КД=0,5*(А1Д-НК)=0,5*(А1Д-РМ)=0,5*(√2-√2/2)=0,5*(√2/2)=√2/4 .

ΔКДМ:  ∠ДКМ=90° , МД=√(СД²+МС²)=√(1²+0,5²)=√(1+1/4)=√(5/4)=√5/2 ,

cos∠КДМ=КД/МД=√2/4:√5/2=√2/(2·√5)=1√10 .

∠КДМ=arccos(1/√10)=arccos(√10/10) .