Question

Решить уравнение при всех значениях параметра a:
ax^2+4x+a=0

желательно с решением, просто хочу понять как делается

Answer 1

ax^2+4x+a=0
решаем это уравнение для всех значений параметра a.
1) при a=0
уравнение превращается в линейное
4x=0
x=0
2) для остальных a
D=4^2-4*a*a=16-4a^2=4(4-a^2)
если D=0 => уравнение имеет 2 совпадающих корня:
$4(4-a^2)=0 \a^2=4 \a=pm 2 \x=frac{-4}{2*a}=frac{-2}{a}$

при a=2 => x=-2/2=-1
при a=-2 => x=-2/(-2)=1
если D>0 => уравнение имеет 2 различных корня
$4(4-a^2)>0 \4-a^2 >0 \a^2 < 4 \|a| <2 \a in (-2;2) \x_1=frac{-4+sqrt{4(4-a^2)}}{2a}=frac{-2+sqrt{4-a^2}}{a} \x_2=frac{-2-sqrt{4-a^2}}{a}$

если D<0 уравнение не имеет действительных корней
$4(4-a^2)<0 \a^2>4 \|a|>2 \x in (-infty;-2)cup (2;+infty)$
Ответ:
при a=0 => x=0
при a=2 => x=-1
при a=-2 => x=1
при
$a in (-2;0)cup (0;2) Rightarrow x=frac{-2pm sqrt{4-a^2}}{a}$

при
$a in (-infty;-2)cup (2;+infty) Rightarrow xin varnothing$