Question

Доказать, что при а ≥ 0, b ≥ 0, c ≥ 0 выполняется неравенство:
(а + 4)*(b + 1)*(c + 4)≥32√abc

Answer 1

Рассмотрим пару чисел a и 4. Согласно неравенству Коши выполняется неравенство (a + 4)/2 ≥√4a = 2√a. Соответственно для пары b и 1 получаем (b + 1)/2 ≥√b, а для пары c и 4 имеем (c + 4) ≥ √4c = 2√c. Далее перемножим эти три неравенства: ((a + 4)/2)*((b + 1)/2)*((c + 4)/2) ≥ 2√a*√b*2√c => (a + 4)(b + 1)(c + 4)/8 ≥ 4√abc => (a + 4)(b + 1)(c + 4) ≥ 32√abc. Неравенство доказано.