Question

Основанием правильной треугольной пирамиды MABC служит треугольник ABC со стороной 6. Ребро MA перпендикулярно грани MBC. Через вершину пирамиды M и серeдины рёбер AC и BC проведена плоскость α.
а ) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью α является равносторонним треугольником.
б) Найдите расстояние от вершины C до плоскости α.

Answer 1

a) Пусть Середины ребер AC и BC - Соответственно D и E .

DE - очевидно 3 , поэтому надо доказать что апофемы пирамиды MD и ME тоже равны трем.

Рассмотрим треугольник AME . Он по условию прямоугольный с прямым углом M ( MA перпендикулярно MBC )

Высота MO Проецируется в центр основания ABC ( пирамида правильная  )

AE = 6√3/2 = 3√3

AO=2√3

EO = √3

пусть высота MO - h

тогда по теореме Пифагора

h^2+(√3)^2+h^2+(2√3)^2=(3√3)^2

Откуда h=√6

ME^2 = h^2+3

ME=3

Доказано.

б) Пусть С - начало координат

Ось X - CA

Ось Y  - перпендикулярно X в сторону B

Ось Z - перпендикулярно ABC в сторону M

Координаты Точек

D(3;0;0)

E(3/2;3√3/2;0)

M(3;√3;√6)

Уравнение плоскости DEM

ax+by+cz+d=0 подставляем координаты точек

3a+d=0

3a/2+3√3b/2+d=0

3a+√3b+√6c+d=0

Пусть d= -6 Тогда a=2 b=2/√3 c= - 2/√6

2x+ 2y/√3 - 2z/√6 - 6 =0

k=√ (4+4/3+4/6) = √6

Нормализованное уравнение

2x/√6+ 2y/(√3√6) - 2z/(√6√6) - 6/√6 =0

Расстояние от С (начала координат)   до Плоскости DEM Равно

6/√6 = √6

Answer 2

Корень квадратный из суммы квадратов коэффициентов при x y z

Answer 3

а после нормализованного уравнения как вы пришли к такому результату? я вообще не понимаю...

Answer 4

Подставляем координаты точки в нормализованное уравнение плоскости - так как точка у нас начало координат (0;0;0) - только свободный член и остается.

Answer 5

Я писал решение автору задания Пельменю - а он уж теперь то )) в векторном методе спец )) - поэтому такие вещи опускал . Но у меня очень много подобных задач в решениях по геометрии с более подробными объяснениями - можно посмотреть ...

Answer 6

На самом деле векторный метод сильно экономит время на ЕГЭ . А время там главное. Больше 15 минут на 14 задание не должно уходить при должной сноровке и по единому накатанному методу. И всего шесть формул то запомнить нужно ))