Question

$frac{(3x-15)(x+6)}{8-x} geq 0$ и |x-7|-|2x+4|<5
Помогите пожалуйста, скоро контрольная, а я не понимаю

Answer 1

$frac{(3x-15)(x+6)}{8-x}geq0$

Найдем ОДЗ (Область допустимых значений). Т.к. на ноль делить нельзя, знаменатель не должен быть равен 0. Отсюда находим:

$8-xneq0Leftrightarrow xneq8$

Дальше можно решить разными способами.

Решим методом интервалов (более удобен):

$(3x-15)(x+6)=0\3x-15=0\3x=15\x=5\x+6=0\x=-6\x_{1}=5;x_{2}=-6$

Отмечаем точки ОДЗ и решения на координатной прямой, находим знаки для каждого промежутка и находим решение неравенства (см. прикрепленный рисунок).

P.S. Незакрашенные точки значат, что это значение не входит в промежуток (обозначается круглой скобочкой), а закрашенные - наоборот (обозначается квадратной скобочкой).

$xin(-infty;-6]cup[5;8)$

Решим с помощью правила расщепления:

Т.е. существуют два случая, при которых частное $frac{a}{b}$ может быть ≥ 0 (Нужно использовать >, < вместо ≥, ≤ соответственно для знаменателя, поскольку он не может быть равен 0):

$left{begin{matrix}ageq0\b>0end{matrix}right.$ или $left{begin{matrix}aleq0\b<0end{matrix}right.$

Т.е. решением является совокупность (нас устраивает и то, и другое решение):

$begin{bmatrix}left{begin{matrix}ageq0\b>0end{matrix}right.\left{begin{matrix}aleq0\b<0end{matrix}right.end{matrix}$

Зная это правило, решаем неравенство:

$frac{(3x-15)(x+6)}{8-x}geq0\frac{3(x-5)(x+6)}{8-x}geq0$

$begin{bmatrix}left{begin{matrix}3(x+6)(x-5)geq0\8-x>0end{matrix}right.\left{begin{matrix}3(x+6)(x-5)leq0\8-x<0end{matrix}right.end{matrix}\\begin{bmatrix}left{begin{matrix}(x+6)(x-5)geq0\-x>-8end{matrix}right.\left{begin{matrix}(x+6)(x-5)leq0\-x<-8end{matrix}right.end{matrix}\\begin{bmatrix}left{begin{matrix}(x+6)(x-5)geq0\x<8end{matrix}right.\left{begin{matrix}(x+6)(x-5)leq0\x>8end{matrix}right.end{matrix}$

Решим, для удобства, неравенства отдельно.

Первое:

$(x+6)(x-5)geq0$

Возможны два случая, когда произведение a × b может быть ≥ 0:

$left{begin{matrix}ageq0\bgeq0end{matrix}right.$ или $left{begin{matrix}aleq0\bleq0end{matrix}right.$

Т.е. решением является совокупность (нас устраивает и то, и другое решение):

$begin{bmatrix}left{begin{matrix}x+6geq0\x-5geq0end{matrix}right.\left{begin{matrix}x+6leq0\x-5leq0end{matrix}right.end{matrix}\\begin{bmatrix}left{begin{matrix}xgeq-6\xgeq5end{matrix}right.\left{begin{matrix}xleq-6\xleq5end{matrix}right.end{matrix}\\begin{bmatrix}xin[5;+infty)\xin(-infty;-6]end{matrix}\xin(-infty;-6]cup[5;+infty)$

Второе:

$(x+6)(x-5)leq0$

Возможны два случая, когда произведение a × b может быть ≤ 0:

$left{begin{matrix}aleq0\bgeq0end{matrix}right.$ или $left{begin{matrix}ageq0\bleq0end{matrix}right.$

Т.е. решением является совокупность (нас устраивает и то, и другое решение):

$begin{bmatrix}left{begin{matrix}x+6leq0\x-5geq0end{matrix}right.\left{begin{matrix}x+6geq0\x-5leq0end{matrix}right.end{matrix}\\begin{bmatrix}left{begin{matrix}xleq-6\xgeq5end{matrix}right.\left{begin{matrix}xgeq-6\xleq5end{matrix}right.end{matrix}\\begin{bmatrix}xinO\xin[-6;5]end{matrix}\xin[-6;5]$

Вернемся к решению другой совокупности:

$begin{bmatrix}left{begin{matrix}(x+6)(x-5)geq0\x<8end{matrix}right.\left{begin{matrix}(x+6)(x-5)leq0\x>8end{matrix}right.end{matrix}\\begin{bmatrix}left{begin{matrix}xin(-infty;-6]cup[5;+infty)\xin(-infty;8)end{matrix}right.\left{begin{matrix}xin[-6;5]\xin(8;+infty)end{matrix}right.end{matrix}\\begin{bmatrix}xin(-infty;-6]cup[5;8)\xinOend{matrix}\\xin(-infty;-6]cup[5;8)$

Учитывая ОДЗ, найдем решение:

$left{begin{matrix}xin(-infty;-6]cup[5;8)\xneq8end{matrix}right.\xin(-infty;-6]cup[5;8)$

Теперь решим другое неравенство.

$|x-7|-|2x+4|<5$

Зная, что $|x|=left{begin{matrix}x,xgeq0\-x,x<0end{matrix}right.$ разделим наше неравенство на 4 системы:

$begin{bmatrix}left{begin{matrix}(x-7)-(2x+4)<5\x-7geq0\2x+4geq0end{matrix}right.\left{begin{matrix}-(x-7)-(2x+4)<5\x-7<0\2x+4geq0end{matrix}right.\left{begin{matrix}(x-7)-(-(2x+4))<5\x-7geq0\2x+4<0end{matrix}right.\left{begin{matrix}-(x-7)-(-(2x+4))<5\x-7<0\2x+4<0end{matrix}right.end{matrix}$

$begin{bmatrix}left{begin{matrix}x>-16\xgeq7\xgeq-2end{matrix}right.\left{begin{matrix}x>-frac{2}{3}\x<7\xgeq-2end{matrix}right.\left{begin{matrix}x<frac{8}{3}\xgeq7\x<-2end{matrix}right.\left{begin{matrix}x<-6\x<7\x<-2end{matrix}right.end{matrix}$

$begin{bmatrix}xin[7;+infty)\xin(-frac{2}{3};7)\xinO\xin(-infty;-6)end{matrix}$

$xin(-infty;-6)cup(-frac{2}{3};+infty)$