Ответы
Эллиптический параболоид.
Эллиптическим параболоидом называется поверхность, которая в некоторой декартовой системе координат определяется уравнением
2 z = x2 a2 + y2 b2 ,
где a, b>0 — параметры параболоида.Это уравнение называется каноническим уравнением эллиптического параболоида, а система координат, в которой параболоид описывается каноническим уравнением, называется канонической.
Исследуем форму эллиптического параболоида с помощью метода сечений (рис. 1).
Рассмотрим сечения параболоида плоскостями z = h , параллельными плоскости XOY :
м
п
н
п
о
x2 a2 + y2 b2 = 2h
z = h
При h>0 в сечении получаются эллипсы с полуосями a* = a √2h и b* = b √2h , т.е. при возрастании h полуоси эллипсов неограниченно возрастают. При h = 0 плоскость z = h касается параболоида в начале координат (0, 0, 0) и, наконец, при h<0 плоскость z = h непересекает параболоида (в сечении — пустое множество).
Аналогично исследуются сечения параболоида плоскостями, параллельными координатным плоскостями XOZ и YOZ . В частности,
м
п
н
п
о
z = x2 2a2
y = 0
и м
п
н
п
о
z = y2 2b2
x = 0
т. е. в сечении координатными плоскостями y = 0 и x = 0 получаются параболыс вершинами в начале координат.
Замечание. В частном случае a2 = b2 = p имеем уравнение параболоида вращения
x2 + y2 + z2 = 2pz ,
т.е. поверхности, которую описывает парабола при вращении вокруг оси OZ .
Гиперболический параболоид (седло).
Гиперболическим параболоидом (или седлом) называется поверхность, которая в некоторой декартовой системе координат определяется уравнением
2z = x2 a2 − y2 b2 ,
где a, b>0 — параметры параболоида. Это уравнение называется каноническим уравнением гиперболического параболоида, а система координат, в которой параболоид описывается каноническим уравнением, называется канонической.
Исследуем форму гиперболического параболоида с помощью метода сечений (рис. 2).
Рассмотрим сечения параболоида плоскостями z = h , параллельными плоскости XOY :
м
п
н
п
о
x2 a2 − y2 b2 = 2h
z = h
При h>0 в сечении получаются гиперболы с вершинами, лежащими на оси, параллельной оси OX , а при h<0 — гиперболы с вершинами, лежащими на оси, параллельной оси OY .
Аналогично исследуются сечения гиперболического параболоида плоскостями, параллельными координатным плоскостями XOZ и YOZ . В частности,
м
п
н
п
о
z = x2 2a2
y = 0
т.е. в сечении получается парабола с вершиной в начале координат, ветви которой направлены вверх, и
м
п
н
п
о
z = − y2 2b2
x = 0
т.е. в сечении получается парабола с вершиной в начале координат, ветви которой направлены вниз.
¾¾¾¾ * * * ¾¾¾¾