Question

В четырёхугольнике ABCD угол BAC=20*, угол BCA=35*, угол BDC=40*, угол BDA=70*. Найти острый угол между диагоналями четырёхугольника.

Answer 1

Решение

Пусть K — точка пересечения биссектрисы угла ADB с диагональю АС. Поскольку $ angle$KDB = $ angle$KCB = 35o, то точки K, B, C, D лежат на одной окружности. Поэтому

$displaystyle angle$BKC = $displaystyle angle$BDC = 40o, $displaystyle angle$ABK = $displaystyle angle$BKC - $displaystyle angle$BAC = 40o - 20o = 20o.

Тогда AK = BK и радиус окружности, описанной около треугольника AKD, равен радиусу первой окружности ( $ angle$ADK = $ angle$KDB = 35o). Поэтому

$displaystyle angle$CAD = $displaystyle angle$ACD = $displaystyle {frac{180^{circ} - 110^{circ}}{2}}$ = 35o.

Следовательно, угол между диагоналями равен

$displaystyle angle$BDC + $displaystyle angle$ACD = 40o + 35o = 75o.

 

Ответ

75o.