30 БАЛЛОВ!!!!СРОЧНО!!!!
1. Две стороны треугольника равны 10 см и 12 см, а угол между ними — 120°. Найдите третью сторону треугольника и его площадь.
2. В треугольнике ABC известно, что AC = 5корень2 см, уголB = 45°, уголC = 30°. Найдите сторону AB треугольника.
3. Определите, остроугольным, прямоугольным или тупоугольным является треугольник со сторонами 6 см, 8 см и 11 см.
4. Одна сторона треугольника на 3 см меньше другой, а угол между ними равен 60°. Найдите периметр треугольника, если его третья сторона равна 7 см.
5. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник со сторонами 4 см, 13 см и 15 см.
6. Стороны треугольника равны 4 см, 5 см и 7 см. Найдите медиану треугольника, проведённую к его меньшей стороне.
Ответы
1) По теореме косинусов ;
2) По теореме синусов ; AB=5.
3) Из теоремы косинусов следует, что Пусть напротив стороны длиной 6 см лежит угол α, напротив отрезка длиной 8 см лежит угол
, а напротив стороны длиной 11 см лежит угол β.
Тогда cosα=(8^2+11^2-6^2)/(2*8*11)= 149/176. Значит, α - острый угол.
cosγ=(6^2+11^2-8^2)/(2*6*11)= 93/132
Следовательно, -острый угол.
Аналогично <0 Значит, β - тупой угол.
Таким образом, треугольник - тупоугольный.
4) Пусть треугольник имеет стороны x, x+3 и 7, где угол между сторонами x и x+3 равен 60. По теореме косинусов . Выходит, что
;
x=-8 или x=5. Значит, x=5. Тогда периметр треугольника равен 5+(5+3)+7=20 см.
5) Пусть a=4 см, b=13 см и c=15 см. Найдем площадь треугольника по формуле Герона. , где p-полупериметр треугольника. Тогда p=16 см и
=24. Радиус вписанной окружности можно найти по формуле
. Тогда
=1,5.
6) Пусть медиана к стороне длиной 4 см равна с. Достроим треугольник до параллелограмма с диагоналями равными 4 и 2*с.
В параллелограмме сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов его сторон. Докажем этот факт. Ясно, что с^2=a^2+b^2-2*a*b*cosα. Аналогично d^2=a^2+b^2-2*a*b*cos(180α)=a^2+b^2+2*a*b*cosα. Сложим полученные равенства. Выходит, что c^2+d^2=2(a^2+b^2), ч.т.д.
Тогда имеем: 2*(5^2+7^2)=(2*c)^2+4^2
Решив это уравнение получим, что
![](https://st.uroker.com/files/ca9/ca9a59fbaa9734b3f9337874a23628e6.png)