Question

1. Сколько цифр в числе 111...111 , если оно делится на 999999999

Answer 1

999999999 = 111111111 * 9. Значит, число делится одновременно на 9 и 111111111. Т. к. число делится на 9, то сумма его цифр кратна 9, т. е. количество единиц равно 9k. При делении числа 11...11, содержащего n единиц, на число 11...11, содержащее p единиц, должно выполняться условие n ⋮ p (если представить деление столбиком, то заметим, что мы берём p единиц, вычитаем, потом берём ещё p единиц и т. д. m раз, а т. к. в остатке должен быть 0, n = mp). 9k ⋮ 9 - верно, число делится на 111111111. Тогда, чтобы число поделилось ещё и на 9, k ⋮ 9. Отсюда k = 9x, а n = 81x.

Ответ: 81x единиц.