Question

Пожалуйста, решите уравнение. 40 баллов!

Дифференциальное уравнение первого порядка:

y'+(2y)/x=(e^(-x^2))/x

Answer 1

$displaystyle y'+frac{2y}{x}=frac{e^{-x^2}}{x}|*x\xy'+2y=e^{-x^2}\y=uv;y'=u'v+v'u\xu'v+xv'u+2uv=e^{-x^2}\xu'v+u(xv'+2v)=e^{-x^2}\frac{xdv}{dx}+2v=0|*frac{dx}{xv}\intfrac{dv}{v}=-2intfrac{dx}{x}\ln|v|=-2ln|x|\v=frac{1}{x^2}\frac{du}{xdx}=e^{-x^2}|*xdx\du=xe^{-x^2}dx\int du=-frac{1}{2}int e^{-x^2}d(-x^2)\u=-frac{1}{2}e^{-x^2}+C\y=frac{1}{x^2}(-frac{e^{-x^2}}{2}+C)$