Question

Решить дифференциальное уравнение :
xy'+y=-x^2y^2 ; y(1)=1

Answer 1

Думаю так (P.S. Ответ проверен на wolframalpha)

Answer 2

Спасибо))

Answer 3

Это явно решение не вашего уравнения, не замечаете?)

Answer 4

Это уравнение Бернулли, запишем его в виде

$frac{y'}{y^2} +frac{1}{yx} =-x$ (на решение y=0 и прочую шелуху забиваем, ибо все равн в конечном итоге придется искать частное решение)

Сделаем подстановку

$z=frac{1}{y}$

Тогда

$z'=-frac{y'}{y^2}$

и уравнение принимает вид

$z'-frac{z}{x}=x$

Получили линейный диффур первого порядка, который решается заменой z=uv, z'=u'v+uv', где u - любое ненулевое решение уравнения

$u'-frac{u}{x} =0$

Разделим переменные и проинтегрируем:

$intlimitsfrac{du}{u} =intlimitsfrac{dx}{x}\ lnu=lnx \u=x$

Подставляя в уравнение и преобразовывая имеем:

$u'v+uv'-frac{uv}{x} =x\uv'=x\v'=1\v=(x+C)\z=uv=x(x+C)\y=frac{1}{x(x+C)}$

Теперь найдем решение задачи Коши:

$y(1)=1\\frac{1}{1+C} =1\C=0$

Итак, искомое частное решение имеет вид:

$y=frac{1}{x(x+2)}$