Question

Найти порядок бесконечно малой функции альфа(х)=lncos5x-lncos2x относительно бета(х)=х при х следует к нулю

Answer 1

$alpha (x)=lncos5x-lncos2x\beta (x)=x$

Найдем такое n, что

$limlimits_{xto 0}=frac{alpha(x)}{beta^n(x)} =limlimits_{xto 0}frac{lncos5x-lncos2x}{x^n} =Aneq 0neq infty$

Поехали:

$limlimits_{xto 0}frac{lncos5x-lncos2x}{x^n} =limlimits_{xto 0}frac{lnfrac{cos5x}{cos2x}}{x^n} =limlimits_{xto 0}frac{ln(1+frac{cos5x}{cos2x}-1)}{x^n}=(*)$

ln(1+α)∼α, при α->0, поэтому

$(*)=limlimits_{xto 0}frac{frac{cos5x}{cos2x}-1}{x^n}=limlimits_{xto 0}frac{cos5x-cos2x}{x^n}=-2limlimits_{xto 0}frac{sinfrac{7x}{2}sinfrac{3x}{2}} {x^n}=(*)$

sinα∼α, при α->0:

$(*)=-frac{21}{2} limlimits_{xto 0}frac{x^2} {x^n}$

Из последнего равенства очевидно, что n=2. Итак, α(x) - бесконечно малая порядка 2 относительно β(x)