Question

Решить в целых числах систему уравнения
{xy + z = 94
{x + yz = 95

Answer 1

Заметим, что 94 = 95 - 1 ⇒ xy + z = x + yz - 1 ⇔ xy - x + z - yz = -1 ⇔ x(y - 1) - z( y - 1) = -1 ⇔ (y - 1)(x - z) = 1 ⇔ (y - 1)(z - x) = 1. Значит, либо оба множителя равны 1, либо -1, либо один из них целый, а второй - обратный первому. В последнем случае получается, что какое-то из чисел обязательно будет дробным, а это не удовлетворяет условию задачи.

1) y - 1 = -1, z - x = -1 ⇒ y = 0, z = 94, x = 95. z - x = 94 - 95 = -1 - верно, решение (95; 0; 94) подходит.

2) y - 1 = 1, z - x = 1 ⇒ y = 2.

$left { {{2x+z=94} atop {x+2z=95}} right. left { {{2x+z=94} atop {2x+4z=190}} right. left { {{3z=96} atop {x+2z=95}} right. left { {{z=32} atop {x=95-2z}} right. left { {{z=32} atop {x=31}} right.$

z - x = 32 - 31 = 1 - верно, решение (31; 2; 32) подходит.

Ответ: (95; 0; 94), (31; 2; 32)