Question

Даны положительные числа a>b. Можно ли утверждать, что $sqrt{a+sqrt[4]{b}} textgreater sqrt{b+sqrt[4]{a}$

Answer 1

Возводим в квадрат обе части неравенства, получим

$sf a+sqrt[sf 4]{sf b}>b+sqrt[sf 4]{sf a}~~~Rightarrow~~~ a-b>sqrt[sf 4]{sf a}-sqrt[sf 4]{sf b}$

Для $sf a-b=left(sqrt{a}-sqrt{b}right)left(sqrt{a}+sqrt{b}right)=left(sqrt[sf 4]{sf a}-sqrt[sf 4]{sf b}right)left(sqrt[sf 4]{sf a}+sqrt[sf 4]{sf b}right)left(sqrt{a}+sqrt{b}right)$. Тогда

$left(sqrt[sf 4]{sf a}-sqrt[sf 4]{sf b}right)left(sqrt[sf 4]{sf a}+sqrt[sf 4]{sf b}right)left(sqrt{a}+sqrt{b}right)>sqrt[sf 4]{sf a}-sqrt[sf 4]{sf b}$

Так как a>b, то, умножив левую и правую части последнего неравенства на $sf dfrac{1}{sqrt[sf 4]{sf a}-sqrt[sf 4]{sf b}}$, получим

$sf left(sqrt[sf 4]{sf a}+sqrt[sf 4]{sf b}right)left(sqrt{a}+sqrt{b}right)>1$ - верно для достаточно больших a и b. Для малых a,b неравенство не выполняется, следовательно, утверждать нельзя.

Ответ: нет.