Question

С решение, пожалуйста))
Найти наибольшее и наименьшее среди значений параметра а, при которых неравенство 3а+1/4-ах+а^2х^2<=(больше либо равно) 0 выполняется при всех х из отрезка [-1;0].

Answer 1

Рассмотрим функцию $f(x)=a^2x^2-ax+3a+frac{1}{4}$

1. a = 0. График - прямая линия. $f(x)leq 0 Rightarrow frac{1}{4}leq 0 Rightarrow xinvarnothing$. Значение параметра не подходит.

2. a ≠ 0. График - парабола, ветви направлены вверх, $x_{0}=frac{1}{2a}$.

Если $x_{0}geq 0 Rightarrow a>0$, то $f(-1)leq 0 Rightarrow a^2+4a+frac{1}{4}leq 0 Rightarrow ain[frac{-4-sqrt{15}}{2}; frac{-4+sqrt{15}}{2}]Rightarrow ainvarnothing$

Если $x_{0}leq-1Rightarrow frac{1}{2a}leq -1 Leftrightarrow frac{2a+1}{a}leq 0 Rightarrow ain[-frac{1}{2}; 0)$, то $f(0)leq 0 Rightarrow 3a+frac{1}{4}leq0 Leftrightarrow a leq -frac{1}{12} Rightarrow ain[-frac{1}{2}; -frac{1}{12}]$

Если $-1leq x_{0}leq 0 Rightarrow left { {{frac{1}{2a}leq0} atop {frac{1}{2a}geq-1}} right.left { {{a<0} atop {aleq-frac{1}{2}, a>0}} right. Rightarrow aleq-frac{1}{2}$, то $left { {{f(0)leq0} atop {f(-1)leq0}} right. left { {{ain(-infty; -frac{1}{12}]} atop {ain[frac{-4-sqrt{15}}{2}; frac{-4+sqrt{15}}{2}]}} right. Rightarrow ain[frac{-4-sqrt{15}}{2}; -frac{1}{12}] Rightarrow ain[frac{-4-sqrt{15}}{2}; -frac{1}{2}]$

Тогда $ain[frac{-4-sqrt{15}}{2}; -frac{1}{12}]$

Ответ: наименьшее $a = frac{-4-sqrt{15}}{2}$, наибольшее $a = -frac{1}{12}$