Question

Помогите вычислить пределы

Answer 1

1)

$limlimits_{n to infty} (frac{5}{6} + frac{13}{36} + cdots + frac{3^n + 2^n}{6^n}) = limlimits_{n to infty} sumlimits_{i = 1}^{n} frac{3^i + 2^i}{6^i} = limlimits_{n to infty} sumlimits_{i = 1}^{n} (frac{1}{2})^i + limlimits_{n to infty} sumlimits_{i = 1}^{n} (frac{1}{3})^i = sumlimits_{i = 1}^{infty} (frac{1}{2})^i + sumlimits_{i = 1}^{infty} (frac{1}{3})^i$

Получились две суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Тогда имеем:

$sumlimits_{i = 1}^{infty} (frac{1}{2})^i + sumlimits_{i = 1}^{infty} (frac{1}{3})^i = frac{1}{2} * frac{1}{1 - frac{1}{2}} + frac{1}{3} * frac{1}{1 - frac{1}{3}} = 1 + frac{1}{2} = frac{3}{2}$

2)

$limlimits_{n to infty} (frac{n^3 + 1}{n^3 - 1})^{2n - n^3} = limlimits_{n to infty} ({1 + frac{2}{n^3 - 1}})^{2n - n^3} = limlimits_{n to infty} e^{frac{2n - n^3}{2(n^3 - 1)}} = e^{-2}$

3)

$limlimits_{n to infty} (frac{sqrt{n^6 + 4} + sqrt{n - 4}}{sqrt[5]{n^6 + 6} - sqrt{n-6}}) = limlimits_{n to infty} (frac{n^6 - n}{sqrt[5]{n^6 + 6}*sqrt{n^6 + 4} - sqrt{n-6}*sqrt{n^6 + 4} - sqrt[5]{n^6 + 6} * sqrt{n - 4} + sqrt{n - 4} * sqrt{n-6}}) = infty$, ведь степень верхнего многочлена $6$, а нижнего $frac{18}{5}$